ひたすら受験問題を解説していくブログ
北海道大学1996年後期数学第3問
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解説

いくらなんでももう使い古された感のある数列の極限の問題です。これ系は(2)のようにハサミうちの不等式すら与えられていなくても解けるようになっておきたい所です(別解参照)。

(1)
軸に平行な線を引いて交わるということは同じ値になるので,ただ単に代入しているということです。よって,
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(2)
まず0以上であることですが,x1で成立と与えられているので,それを使って帰納法で行きます。
n=kで成立すると仮定すると,
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相加相乗ですね。したがって,残るは中辺と右辺です。2×(右辺-左辺)≧0を示せばよいです。
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この不等式を繰り返し使ってn=1まで戻した後にハサミうちます。
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【(2)別解答】
そもそものところ不等式の係数についてどう求めればいいのかわかってない受験生って結構いたりします。2年に一回は聞かれる気がしますし。次のように考えていけば不等式の形が与えられていなくとも,いい式変換が思い浮かばなくとも(東京大学2014年前期数学第4問みたいな面倒な奴)とくことができます。

まず一般で考えますが,これ系問題は収束する値が極値になりうることからも分かる様に,漸化式に極値を入れると等号が成立するところです。したがって,その値をXとするとX=f(X),以下のように平均値の定理ととらえることができます(cnは間の実数)。
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あとは,この|f’(cn)|から有限個の項を除いた数列の上限が1未満であれば収束します。本問題で考えれば,
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したがって,xn-√2>0ならば,xn+1-√2>0  (f’(cn)>0なので)であり,中辺と右辺の関係もそのまま出てきています。f’(x)の符号を気にしていますが,問題で聞かれていなければ絶対値で処理してしまって終わりです。

(3)
とりあえず接線とか言われたことをやってみます。接線の方程式にx=h(t)とy=0をいれます。一点で交点を持つので,g’(t)≠0です。また,h(t)とtの関係もそのまま入れてしまいます。
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C≠0なのは積分定数そのままの表記なら指数関数の指数部分になっているからです。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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