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北海道大学1996年後期数学第4問
hokudai_1996_koki_math_q4.png

解説

(1)みたいな問題は事故りやすい問題ですかね。(2)は簡単,(3)もノータイムと行かなくとも難関大受験生は解きたいですね。

(1)
途中で切れている階乗もどきはコンビネーションなどで処理できることがあります。
hokudai_1996_koki_math_a4_1.png

コンビネーションは整数なので示せました。


【(1)別解答】二変数の帰納法
せっかく整数が関わることなので数学的帰納法で行ってみます。

(i)n=3の時
連続する3数は偶数を必ず含み,かつ3の倍数を含みます。したがってすべての自然数kで成立します。

(ii)n=pですべての自然数kにおいて成立すると仮定
(ii-i)k=1の場合
n=p+1で(p+1)!となるため,成立します。

(ii-ii)k=qで成立すると仮定
k=qの場合とk=q+1の場合の違いを考えて比較します。
k=qのqがk=q+1では(q+p+1)に置き換わります。
残りの部分はn=pの結果よりp!の倍数となります。
qと(q+p+1)はp+1で割った余りは同じなので,k=qの時に成立していれば,k=q+1でも成立します。

よって,(ii-i)(ii-ii)より,n=p+1でも成立します。

さらに,(i)(ii)より,すべての3以上の整数nでも成立します。

(2)
係数に適当な文字を与えてn-1乗までが出てくる範囲でのみ計算してみると,
hokudai_1996_koki_math_a4_2.png
となり,係数はnになります。
次も頑張ってもいいですが,f1をnで割れば最高次数は係数が1となるため,同じような計算をしなくとも,その係数はn-1になります。もともとnで割っていたので,これを戻してやれば,n(n-1)です。

(3)
全ての自然数kでaで割れるということは,その差であるf1もすべての自然数kで整数かつaで割れます。そして,その差であるf2も同様です。
以下,繰り返していくとfnもすべての自然数kで整数かつaで割れますが,fn=n!でもあります。
よって,示されました。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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