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ひたすら受験問題を解説していくブログ
円錐を切った立体の表面積

Q

もしよろしければ教えてください。
底面がx^2+y^2=1、高さ1の円錐を0≦t≦1で切った時の切断面を含まない、(1,0,0)側の円錐の表面積を高校範囲で、積分などを用いて求めることは可能ですか?計算過程などもあると助かります。

A


z軸方向に垂直に切るとただの相似形なので,x=tで切るという理解でいいのでしょうか。

厳密には大学の範囲なのかもしれませんが,射影の考え方を用いると可能です(ただしcosθ=tとなるθをαと置くとかを認めればですけど)。
円錐の側面はxy平面と45°傾いているため,面積はz軸方向から見た射影の1/cos45°倍になります。したがって,底面の円のt≦x≦1となる部分の面積の1/cos45°倍ということです。したがって,
qa_m_7_1.png

一行目左の積分は放物線の断面で,右の積分が底面と側面の和です。
2行目右は図形的に計算した方が早いので置換とかしてません(してもいいです)。

側面を求める別案としては,切ってできる放物線の曲線の長さを積分で求めて,それにdt/cos45°をかけて積分するって手もありそうですが,計算がめんどくさすぎるので私は辞退しました。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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