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京都大学2018年特色入試数学第3問
京都大学2018特色数学第3問
画像は誰か様のツイートから丸パクりしました。

解説

結構難しい問題です。割れる割れないや割ったもののガウス記号などは何とか進数のシフトと捉えると見やすいでしょう。特に2の累乗の場合は定石と言っても過言ではありません。

まず,考えているkは100・・・000(0はn-1個)と1111・・・111(1はn個)です。2で割ることはシフトであり,ガウス記号は小数点以下の切り捨てです。したがって,kを2で0回からm-1回割っているので,例えば1101001ならば1101001,110100,11010,1101,110,11,1が表になるということです(元の桁数が同時に考えなければいけない回目の数ですね)。

1シフトすると一ケタ減るので,一つ前と比較できる感じです。頭の2桁で場合分けすると10,11の場合がありますが、生成数のパターンは2進数のパターンなので,10XX・・・Xの0だけ取り出し(Xは何でもいいです),nが1つ少ない生成数のパターンに対応できます。同様に11XX・・・Xもnが1つ小さい生成数に対応できます。生成数の作り方が10系と11系をシフトしただけのものなので,これらの2つの系に同じ生成数は生じません。

したがって10の0つまり2回目になるところと,11の2番目の1つまり3回目になるところとn-1の生成数で考えていけます。

少なくとも1つということは全部だめなものを考えればいいので,必ず表にならなければならない1回目,つまり確率1/2を全体としてそこから引いていきます。

(i)2回目が表,3回目が裏
前提になるためには1/4であり,nの時のすべてのkで1回目を除く部分がダメになる確率をAnとすると,
1/4×An

ここで,Anはその定義から,

1-pn=1/2+An/2

となります(初項は1回目が裏,第二項は1回目が表のケースです)。よって,

1/4×(1-2pn)

(ii)2回目が裏,3回目が表
(i)と同じです。

(iii)2回目が表,3回目が表
2回目の表に対して(i),3回目の表に対して(ii)が起こらなければならず,かつこれらの生成数に重複はないので(1回目はAnを考えることによって分離済み),
1/4×(1-2pn)2

(iv)2回目が裏,3回目が裏
あとに何が来ようがダメです。したがって1/4

(i)~(iv)の合計がダメなパターンになるので,
kyodai_2018_tokumath_a3_1.png

(2)
ここまで来れば作業です。pnの漸化式も出ているし帰納法ですね。

(i)n=1の時
r1=2/p1-1=4-1=3
したがって,成立です。

(ii)n=mで成立を仮定
rm≧3であり,これを使ってn=m+1の成立を示せばいいので,とりあえずm+1のとき,
kyodai_2018_tokumath_a3_2.png

したがって,成立します。

(i)(ii)よりすべての自然数nで成立します。

(3)
とりあえずpをrで表したものに(2)を入れてみます。
kyodai_2018_tokumath_a3_3.png

もう一方は出てきませんが,こういう時は漸化式の代入で行くことが定石ならぬ常識です。先に示すべき式を整理しておきます。
kyodai_2018_tokumath_a3_4.png
帰納法でrn≦3+log⁡nを示します。
(i)n=2
kyodai_2018_tokumath_a3_5.png

(ii)n=mを仮定
kyodai_2018_tokumath_a3_6.png

logがなくなったところは平均値の定理です。したがって成立します。

(i)(ii)と初めのことより,3≦rn≦3+log⁡nつまり,与式は成立します。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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