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京都大学2018年特色入試数学第4問
京都大学2018特色数学第4問
画像は何某様のツイッターから節操なくとったものです。

解説

正直骨が折れ,頭が禿げました。試験会場ではこの問題は解き切れなかったと自負しています(下手するとこれだけで4時間いりそうですね。第3問もほどほどの難易度なので,回せるのは3時間ぐらいなので多分無理)。

(1)
これは簡単で,ただ入れるだけです。
a1,a2を置けば,ハの条件から次々に決まっていきます。ロをうまく使えば,
kyodai_2018_tokumath_a4_1.png

となるので,割り切れるためには0となります。2と4,3と5も同じ関係なので,
kyodai_2018_tokumath_a4_2.png

次にnをオーバーしてしまうm=4,5ですが,
kyodai_2018_tokumath_a4_3.png

なので,
kyodai_2018_tokumath_a4_4.png

この時
kyodai_2018_tokumath_a4_5.png

となり成立しています。

(2)
本題ですが,得られる方程式は同じようなものです。

m+k≦nの場合とそれ以外に分けて考えれば,
kyodai_2018_tokumath_a4_6.png
つまり,n=pk+q とでもすれば(kとqは互いに素),第一式より
kyodai_2018_tokumath_a4_7.png

第2式よりm+kがnを超えてしまうものを考えますが,これには2パターンあります。
kyodai_2018_tokumath_a4_8.png

ものっそい色々試行錯誤した結果,問題となっているakとak+1ことa1さんの自分自身への戻り方を考えます(代入し続けて元に戻るでも,次々に自身以外の項を消していくでも,m+kがオーバーした後も操作を繰り返し続けてn回kを足していくと捉えてもよいでしょう(円形に数列を配置するイメージですね))。

問題は漸化式がどっちになるかが変わるところですが,左辺の行き先が変わることと,右辺第1項の2の累乗の指数が違うことが挙げられます。面倒なので場合分けを添え字でごまかしてまとめ(2n-1=Mと表記しています),nとkは互いに素であるため,k回漸化式を適用しないともとに戻らないことを使っていきます。随時代入して適用してみると,
kyodai_2018_tokumath_a4_9.png

と超絶カオスなことになります。第1項の係数は,並び順が違うだけですべてかけているので,
kyodai_2018_tokumath_a4_10.png

というように書けます。ここで求めるべき式に入れてやると,(1を無印のp系統,kをp’系統で表しています)
kyodai_2018_tokumath_a4_11.png

問題が成立するためには第2項と第3項が相殺しなければなりません。試行錯誤すると,p’k=p+1でpk=pであり,それ以外はすべて一致することが分かります。その場合は右辺第3項の大シグマの全項に2が余分にかかっていることになるため,第2項と第3項が相殺します。

補題 p’とpはk項目以外は一致し,p’k=2pkである。
漸化式の適用により,1≦s≦qの場合も,q+1≦s≦kの場合も,左辺の添え字がsの1次式で,かつ,係数が1なので隣り合うsは隣に移動します。
境界をまたぐ場合,すなわちqとq+1,kと1の場合はどうなるか考えてみると,順に
q→k
q+1→1
k→k-q
1→k-q+1
となる。kから開始したものが,kに戻るのは最後なので,k-q=qとならない(なった場合にはkとqが互いに素ではないもしくはk=2,q=1でその場合は循環の最後なので問題ない)。

すなわち,1とkからスタートしたものは1回目とk回目の漸化式の適用時のみ異なることとなります。また,k回目の適用では1スタートではq+1→1が起こるので2pであり,kスタートではq→kであり2p,つまり,p’k=2pkです。

したがって,この補題を用いることによって題意は証明されました。

【参考】行列(大学生向け)
本問は行列で解くこともできます。連立方程式を行列表現して,その行列式を求めると,±(2n-1)であり,余因子は解答におけるカオスなシグマの各項に相当します(1の項は対角成分の余因子です)。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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