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第2回名大オープン理系数学2017年11月

Q

もしよろしければ解説していただけないでしょうか?(3)が分かりません。難問と噂(?)になってるものです。
今年の第2回名大オープン理系数学の問題です(実施最終日はおそらく11月23日です)。
答え.(1)2つ (2)(α,θ)=(4π/11,7π/11),(2π/11,9π/11),(0,π) (3)証明

QAめいだいもし

A


確かに難しいですね。

図形的に考えるとわかりやすいかと思います。aを足すということは単位円をx正方向にずらすということです。その図形と偏角が同じになる時が解です。|z|=1の場合はただずらした円上の点ですが,|z|>1だったりするとaは相対的に小さくなりますので,ずらした円よりも左側(元の円まで)となり,またそれが左辺の10乗,つまり元の円の外側で同じ偏角になる必要があります。
一方,|z|<1ならばaは相対的に大きくなるので,ずらした円の右側かつ元の円の内側になります。

以上を踏まえて(2)で解をもっているaで作図をしていくと下のようになります(場合分けのとこに載せています)。赤系が|z|>1,青系が|z|<1で考慮する領域です。

この図において,θを動かしていくと,元の円上(つまり左辺の偏角)の方は10θと大きく,移動後の円上(右辺の偏角)よりも早く動いていくため,追い抜く瞬間に偏角が一致します(正確には移動したものの偏角の動きは元のθの動きより早い部分と遅い部分が出ますが,10θを追い抜く瞬間はないです。なぜならば,追い抜きを考慮しなくとも,いずれのケースにおいても解の個数が10個定まるため,結局追い抜いていなかったことが分かります。また,|z|の大気くなるに従い,右の円からのずれは大きくなり,左の円の中心からの距離は大きくなるため,ちょうどぶつかる点が出てきます。これが偏角も絶対値も一致する点です)。

(i)α=0の場合
図のようになります(正確ではないですが,1つのものに関して黒点で左の円10θ,右の円θ,および右の円からaが縮小されて移動してきた点を表示しています)。この時点で|z|<1はないですね。順にθを大きくしていき,解の個数を数えます。実数解なら1個,虚数解なら共役な虚数も解になるので2倍してカウントします。追い抜かす角度が分かりにくいのでβ的なのでごまかして()内に10θを書いておきます(L=1,N=0が確定しているのでθを動かすまでもないのですが,イメージの練習ですね)。βは毎回違う角度です。
qa7_a1.png


L=1(10π)
M=1(0),2(2π+β),2(4π+β),2(6π+β),2(8π+β)
N=なし

(ii)α=2π/11の場合
図のようになります。円と円の交点はθ=9π/11であり,10θ=8π+2π/11です。このθより前は赤部分,ピッタリで円上,その後は青系部分を考えればいいです。
qa7_a2.png

L=2(8π+β)
M=1(0),2(2π+β),2(4π+β),2(6π+β)
N=1(10π)

(iii)α=4π/11の場合
図のようになります。円と円の交点はθ=7π/11であり,10θ=6π+4π/11です。
qa7_a3.png

L=2(6π+β)
M=1(0),2(2π+β),2(4π+β)
N=2(8π+β),1(10π)

以上より,いずれの場合も解の個数は異なっています。
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