FC2ブログ
ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学理学部2016年特色入試数学第2問
kyodai_2016_t_math_q2.png

解説

本年でダントツの最易問です。瞬殺で行きたい所です。というかこれが行けなきゃ他の問題に手も足も出ないでしょう。

(1)
maxの部分の意味が取れるか否かの問題です。左辺は絶対値を積分しており,常に中が正で,右辺は積分の絶対値なので,符号が変わるところから足を引っ張られ始めます。

すなわち,f(x)=0になるところで最大になると思えますが,実のところは極大値までしか保証されていません。単調増加性から初めは負で加算されていき,f(t)=0のところから正で加算されていきます。負の部分の面積をS1,正の部分の面積をS2(1まで積分したのもです)とした場合に,

2S1≦S2
⇒S2-S1≧S1

となり正が負を打ち消すだけではなく,負のみのmaxであるS1を1までの積分であるS2-S1が超えます。また,この値は正でf(t)も正なので,x=1までの積分がx<1の場合より大になります。

よって,問題の不等式は

左辺=S1+S2

(i)2S1>S2の場合
右辺=3S1
よって,
右辺-左辺=2S1-S2>0

(ii)2S1≦S2の場合
右辺=3(S2-S1)≧(S2-S1)+2S1
よって,
右辺-左辺≧(S2-S1)+2S1-(S1+S2)=0

(i)(ii)よりどんな狭義単調増加関数でも成立します。

(2)
(1)で見たように符号が変わると右辺は打ち消されるので大変です。なので,符号を入れ替えまくれば右辺は増加しないことが考えられます。
したがって,f(x)=sinπnxとかにしてn→∞で行けそうです(ジグザグの直線でもいいです)。半周期分の面積をSとすると,

左辺=nS
右辺=S
となります。したがって,いかなる実数Cを持ってきても,C<nなるnが取れて,f(x)=sinπnxで成立しません。


京大理学部2016年特色入試に戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
突然の訪問、失礼いたします。
私はこちら⇒b--n.net
でブログをやっているさくらといいます。
色々なブログをみて勉強させていただいています。
もしよろしかったら相互リンクをお願いできないでしょうか?
「やってもいいよ」という方はコメントを返してくだされば、
私もリンクさせていただきます。
よろしくお願いします^^
2018/01/03(水) 13:32:57 | URL | さくら #- [ 編集 ]
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/715-6739ffb5
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック