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東京大学2018年前期数学第2問
todai_2018_math_q2.png

解説

満点難度は今年最難でしょうか。(1)は落としちゃダメですけど。

(1)
とりあえず言われた形を計算してみます。
todai_2018_math_a2_1.png

ここで2n+1は2(n+1)-1つまり、n+1と互いに素、またnの倍数+1でnとも互いに素であることに注意し,連続する2数(というか和の公式)の形に注意しています。

(2)
todai_2018_math_a2_2.png

ここで,q系列は必ず奇数,p系列はkもしくはk+1に4の倍数が来たら偶数となります。よって,約分不能になるのでn=3までしか考える必要がありません(n+1=4でありa1=3と奇数)。よって2までを調べて終わりでn=1と2のみです。


【別解】力技
(1)における分母分子の次数に着目してみると分子は1次で分母は2次です。つまり,あるn以降はanは単調に減少していきます。分母>分子なるnはn≧4であること(2次不等式解くだけですね)に注意し,順にanを求めていくと
3
3×5/3=5
5×7/6=35/6
35/6×9/10=21/4
21/4×11/15=77/20
77/20×13/21=11・13/(20・3)
11・13/(20・3)×15/(7・4)=11・13/(4・4・7)
11・13/(4・4・7)×17/(4・9)<1
移行全て1未満
って求めても時間内にどうにでもなると思います。



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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