ひたすら受験問題を解説していくブログ
慶應大学医学部2013年数学第2問
keio_med_2013_math_2q.png
ようやく東大の数物化の解説が終わり、こっちに戻ってきました(生物は後でやります)。お詫びに(3)ではポピュラーなEnの漸化式による解法に加えて、もう少し直接求める解法も載せておきます。

解答

解法のポイント
  • 対称なものをまとめて考える
  • 直接がむずかしいなら漸化式でせめてみる

(1)単純に計算していくだけです。
a1:赤3個になるためには白をAから取り出してBから赤を取り出します。よって、1/3×1/3=1/9
b1:赤2個のままになるためには(A,B)=(白,白)、(赤,赤)の組み合わせになります。(白,白)=1/3×2/3=2/9、(赤,赤)=2/3×1/3=2/9で合計4/9です。
c1:計算してもいいですが、赤を2個減らすd1がありえないことから、1-a1-b1-d1=1-1/9-4/9-0=4/9でOKです。

(2)nの状態からn+1の状態に行くことを考えると下図のようになります。実際に計算する際は(1)に加え、aとd、bとcが赤球3/2に対して対称なことからすぐ求められます。つまりは、赤玉を白玉に入れ替えればaがdになり、bがcになるということです。
keio_med_2013_math_2a_1.png

よって、bn+1+cn+1=(an+4bn/9+4cn/9)+(dn+4bn/9+4cn/9)=an+8bn/9+8cn/9+dnです。
ここで、an+bn+cn+dn=1だったので、
bn+1+cn+1=pn+1=1-(bn+cn)/9=1-pn/9となり、え:-1/9、お:1になります。

求めた式を特性方程式を解けばいいんですが、覚えてないので、
pn+1-α=β(pn-α)に変形できるとすると、pn+1=βpn-αβ+αとなりこの左辺は1-pn/9じゃなければなりません。
よってβ=-1/9,-αβ+α=1⇔α=9/10、β=-1/9となります。
pn-α=βn-1(p1-α)⇔pn=(-1/9)n-1(8/9-9/10)+9/10=(-1/9)n/10+9/10となります。

(3)
En=3an+2bn+1cn+0dn直接求めようとするとぐちゃぐちゃになります。そのため、Enの漸化式を作ることを考えます。
En+1をnのもので表したいので、上で示した図によってnに変換してやります。
すると、
keio_med_2013_math_2a_2.png

(3)別解答

解法のポイント
  • 二つの変数からなる任意の式は、その変数を含む(一次独立な)式が2本あれば生成できる(a+b=9と2a+b=3とかがわかっていれば、すべてのAa+Bbが求められるということです。)

En=3an+2bn+1cn+0dnを表したくて、今わかっているのがbn+cnとそれを1から引いたan+dnです。なので、bn-cnとan-dnがわかってしまえば何だって表せます。
keio_med_2013_math_2a_3.png
最後の=前後は、実際にnに偶数か奇数を入れてみると=が成立することがわかります。
尚、bn-cnなどを求めた後ならば、bnとかも簡単に求まるので、直接求めて計算してもよいでしょう。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
とても助かりました
授業で(3)が中っててパニックだったので
本当に解説に感謝しています

私は進学校の落ちこぼれですが
これからも授業に喰らい付いていきたいと思います

ありがとうございました
2013/09/30(月) 22:18:25 | URL | #- [ 編集 ]
お役に立てて光栄です。
この(3)が授業で当たるとは,よほどついていないか,そんなレベルの問題ばかりやってる超進学校かですね。

数学は,といいますか他の科目もですが,わからない問題に出会ったときこそ成長します。
”解説を読んで納得”だけではなく,”何に気づけば解けたか”,”どうしたら気づけたか(気づく上でのポイントは何か)”(問題の形が知っているものと似ている等)をしっかり考えていくとよいと思います。

しばらくたったら忘れてしまいそうですが,陰ながら応援いたしております。
2013/10/01(火) 01:54:48 | URL | 主 #- [ 編集 ]
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