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筑波大学附属駒場中学校2013年算数第1問
tsukukoma_2013_math_1q.png
(2)イは引っかかるところがあるにしても、それ以外は正解が必須ではないでしょうか。

解答

解法のポイント
  • 繰上げの有無に着目する


(1)
ABCとCDFを足して999とのことですが、こういう足し算の問題で困ることは、繰り上がりがあるとC+F=9というように、各桁の和が足した後の数字の対応する桁の数字と同じになると断言できないところです。
しかし、今回の問題で出てくる9というのは非常にわかりやすいものです。各桁の数字は9以下なので、最も大きい9+9でも18、つまり8にしかなりません。つまり1の位(下の位からの繰り上がりはない)の数字が9なら10の位への繰り上がりがないことがわかります。
同様に10の位も1の位から繰り上がってこないならば、1の位と同様に100の位への繰り上がりはありません。
100の位も同様です(999の時点で繰り上がってないことはわかりますが)。
以上から、繰り上がりがないことがわかったのでC+F=9、B+E=9、A+D=9が成立していることがわかります。
求めるべきものはA+B+C+D+E+Fなので、9+9+9となり27が答えになります。

(2)
(ア)C+F=9、B+E=9、A+D=9にAが1、Cが2を入れてみると。Dが8、Fが7とわかります。全部を足すと1B+28+E7=99です。1の位に注目するとB+8+7で9となりますが、8+7=15であり、(1)と同じ理由で5にBを足して繰り上がるというわけではないので、Bは4になり、B+E=9よりEは5です。
よって答えは142857です。
正直なところ普通に連立方程式で解いたほうが早かったりします。

(イ)(ア)ではAとCを決めてBとEがどうなるのかを見て行きました。この考え方を活用します。
A,C,Eを決めて、B、D、Fを求めると9-E、9-A、9-Cになります。なのでB+D+F=9-E+9-A+9-Cの1の位が9になります(ここで、Eではなく、Bを決めてしまうと面倒です。どっちを決めてもいい場合は条件を使いやすいほうや、すべて10の位などといった規則性をもった決め方がいいと思います。)。
B,D,Fの3つの数の和が最大のときは8+8+8なので24までにしかなりません。よって9か19のいずれかになります。
(i)9の場合
9-E+9-A+9-C=9なので、A+C+E=18です。でも、A+C+EはAB,CD,EFを足して99になることを考えれば、1の位からの繰り上がりがないので9にならなければならず矛盾します。
よって9の場合はありません。

(ii)19の場合
9-E+9-A+9-C=19なので、A+C+E=8です。これはAB,CD,EFの和で1の位が繰り上がることと矛盾しません。Aから順に決めていきますが、アルファベットは1から8までであることに注意します。
A:1のとき
C+E=7です。Cは1から6の場合があり、Cが決まるとEも自動的に決まります。
A:2のとき
C+E=6です。Cが1から5の場合があり、Cが決まるとEも自動的に決まります。

この辺までやればわかりますね。Aが1大きくなるごとにCのとりえる数が1減っていきます。
よって、6+5+4+3+2+1=21通りです。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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