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筑波大学附属駒場中学校2013年算数第2問
tsukukoma_2013_math_2q.png
(3)のイが面倒です。普通に計算してもいいのですが、それでは芸がないので対称性を使って処理してみました。(1)(2)は確実に取って、(3)アも算数が得意ならはずせないといった感じでしょうか。

解答

解法のポイント
  • あり得る最大のものが見つかればそれが最大
  • 終点から巻き戻しで考えてもOK
  • 対称性のヒント((1)と(2))を見逃さない

(1)
初めて会うときは二人の進んだ距離の合計が1周分です。Pは1分で1周します。初めてAで会うときの情報から、Qの速さはPの5/3倍であることがわかります。よって、二人の速さの合計はPの8/3倍となり、初めて会う時刻は1÷8/3=3/8分であることがわかります。1周が8cmなのでPは1分あたり8cm進むことから、3cm、つまりDの位置で出会います(図省略)

(2)(1)から同じ位置からスタートして次に会うまでには3/8分かかり、Pの進む方向に3cmずれた位置になることがわかりました。これをつかって解くと楽です。
DからBの距離は4cmです。3で割れないため止まりません。なので更に1周するとどうか、2周するとどうかと考えて行きます。4は3で割って1余り、8(一周)は2余ることから、更に1周するとOK(1+2=3は3で割れる)だとわかります。よって、3/8+(4+8)/3×3/8=15/8分後になります。

(3)
(ア)実際にその状態になるかは置いておいて、面積が一番大きくなるときはどんなときでしょう。三角形の面積は底辺×高さ÷2なので底辺と高さが取りえる値が最大になるときで、どちらかがAB、もう一方がADの長さになる時で、長方形の1/2です。
この時、少なくとも一方はBもしくはDにいる必要があり、もう一方はそれぞれ対辺になるCDもしくはBCにいる必要があります。
Pが3周するまでにPがBまたはDにいる時はそれぞれ3回ありますので、まずはそれらをチェックしてみます。
(2)で初めのDと2回目のBは同じ位置にいることがわかっているので、初めのBと2回目のDを調べます。
PがはじめてBにくるのは7cm進んだ時ですが、Qの速さはPの5/3倍でこの時Qは7×5/3=35/3cm進んだところ、BC上にいることになります。よって、最大にはなりません。
次に2回目のDを見てみます。Pは11cm進んでおり、Qは55/3cm、つまり、BC途中の点にいるため、長方形の1/2倍の三角形が最大になります。

(イ)PがB,Dに来るときでまだ考えていないものは3回目のB、Dです。
いちいち毎回計算することは面倒なので対称性で考えます。1回目のDと2回目のBのそれぞれから動き始めた場合、PとQの位置関係は180度回転させたものになります。
よって、1回目のDから1回目のBにいくこと(半周)は、2回目のBから3回目のDに行くこと(半周)と同じです。そう考えれば、3回目のDは(ア)の解答からQはBではないAB上にいることになるので、最大にはなりません。

また、(3回目のBは-1回目のBと同じなので)1回目のDから3回目のBに行くこと(2周半=-半周)は、2回目のBから2回目のDに行くこと(-半周)と同じです。(ア)の考察より、2回目のDでQがBC上だったので、3回目のBではQはAD上になり最大にはなりません。

次にQがB,Dに来る場合を考えます。Qは5週するのでそれぞれ5回のB,Dを考える必要があります。
PとB,Dであうのは(1)(2)より、4回目のBと1回目のDになります。
PがB,Dに来る場合と同様に考えれば、
2回目のBと4回目のD
2回目のDと5回目のB
3回目のBと5回目のD
3回目のDと1回目のB
(4回目のBと1回目のD)
が同等になります。

2回目のBのとき、動き始めてから9cm動いているので、Pも27/5cm動いており、BCの途中にいます。よって面積は最大ではありません。このことから、4回目のDもPがABの途中にいるため最大にはなりません。

5回目のBのとき、Aで出会うときから7cm戻っているので、PもAから21/5cm戻ったCD上にいます。よって面積は最大で、この時の時間は3-21/5÷8=99/40です。このことから2回目のDはAB上にPがいるため最大にはなりません。

5回目のDのとき、Aで出会うときから3cm戻っているので、PもAから9/5cm戻ったBC上にいます。よって面積は最大で、この時の時間は3-9/5÷8=111/40です。このことから2回目のBはAD上にPがいるため最大にはなりません。

1回目のBのとき、動き始めてから1cm動いているので、Pも3/5cm動いており、ADの途中にいます。よって面積は最大ではありません。このことから、3回目のDではPがBC途中にいるため最大になります。この時の時間は(3+8×2)÷8÷5/3=63/40になります。

以上と(ア)から、11/8、63/40、99/40、111/40分後が答えになります。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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