ひたすら受験問題を解説していくブログ
筑波大学附属駒場中学校2013年算数第4問
tsukukoma_2013_math_4q.png
(3)(イ)が小学生的なとき方から逸脱してしまっています。すみません。

(1)真ん中(1,2,3,4のマスが交じわる点)が中心となるような正方形を考えると最小のもので、辺が2マス分、次のもので辺が4マスといったように1辺が偶数マス目の正方形になります。
左上は考えている正方形の中で最後に埋まるマス目なので、辺のマス目の数を二回かけたものになります。400に近い数字になるものを探しますが、400=20×20なので縦横20マスの正方形の左上になります。
考えている正方形が埋まると、その左に行くことが確認できるので(4と5、16と17のように)400の下は18マスの正方形の最後のマスの次のマスだとわかります。
よって、18×18+1=(20-2)×(20-2)+1=400-80+4+1=325

(2)(1)では偶数マス目を持つ正方形を考えましたが、1と書かれたマス目を中心にすれば、辺が奇数マスで、右下が辺のマス目を2回かけた数字になる正方形になります。
正方形の上の列(偶数正方形)でも下の列(奇数正方形)でも位置がある程度わかるうになったので、2回同じ数字をかけて2013に近くなるものを探してやります。40だと小さい、50だと大きくなると簡単にわかるのでその間の数を試して見ると、45×45=2025であり、2013より12だけ大きい数字になります。また、12は45より小さいので同じ行になります。
2025の左からの位置は、1が50番目なので、50+(45-1)÷2で求まります。よって72番目です。ここから12戻ると2013なのでので、60番目です。

(3)
(ア)50より大きい60番目の列で縦に並ぶということは、図の10から13のように、奇数の辺を持つ正方形の右下から1つ右にいったものが開始位置で、考えている正方形の辺のマス目よりも1大きいマス目分の数が続けてかかれることになります(一周して10にあたる部分の下に数字が書かれた段階で次の奇数になるので、それより1つ少ない数字になります)。
59番目の列で奇数マス目の正方形が完成するものの辺の長さは、(59-50)×2+1=19なので、一番右下は19×19=(20-1)×(20-1)=400-40+1=361です。よって、362から381が答えになります。

(イ)縦に連続するものと、横に連続する部分を分けて考えます。
(i)縦の部分
362から381なので、363,373の2つあります。

(ii)横に連続する部分
一行下に行くと数字がどう変わるかをみます。nを正方形の辺のマス目の数としてやれば、下図のように1行下のマス目に行くまでにn+1を3回、nを1回加えるので4n+3ずつ増えていくことがわかります。
tsukukoma_2013_math_4a.png
(右下のマスに注目してやれば(n+2)×(n+2)-1からn×nを引いた4n+3だけ増えていきます。)
1の位のみに注目してやれば、
7,5,3,1,9,・・・・ずつ増えていくことになります(5ずつの繰り返し)。nが19の時は4n+3は79なので9が開始でOKです。
362に9,7,5,3,1・・・・を足した場合の1の位は、1,8,3,6,7,6,3,8,1,2・・・・という10個の数字が繰り返し出てくることになります(2に戻ったときに、次の数字への増加分が9にちょうどもどるので)。
362は51+(19-1)÷2=60行目なので、下にあと40行あります。よって10個の数字の繰り返しで3が二回出てくるので、4×2=8個あることが分かります。

次に一行上にいく場合も同様に考えます。すると、1の位の増え方は同じく7,5,3,1,9の繰り返しです。381が入っているマスは偶数辺の正方形で言うと20マスの辺のものなので、4n+3に入れてやれば、3から繰り返しが始まることがわかります。
よって、3,1,9,7,5,・・・・の増え方を381の1に足していくと、4,5,4,1,6,9,0,9,6,1・・・という10個の数字の繰り返しになることがわかります。3は出てきません。

(i)(ii)より2+8で10個だとわかります。
スポンサーサイト

テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/93-8ba77eeb
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック