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京都大学2013年前期数学第1問
kyodai_2013_math_1q.png
これを計算ミスなど以外ではずしているようでは合格は厳しいでしょう。センターレベルの基本問題すぎてポイントも書きようがない感じです。

解答

解法のポイント
  • 最後に考える点(点A)を始点した2つのベクトルで他を表す

まず図にするとこんな感じです(ベクトルで解くなら書かなくてもいいかと思いますが)。最後にAP:PQを聞いているので、AかQかPを始点にしたベクトルで考えると幸せです。ただ、他の点を表すベクトルを見つけやすいものでなければならないのでAを始点にします(ベクトルADをベクトルd、ベクトルABをベクトルb)。
kyodai_2013_math_1a_2.png
PはECとFGの交点なので、それらの端の点E,C,F,G次をベクトルbとベクトルdで表します。
kyodai_2013_math_1a_3.png
PはECとFGの交点なので内分点の公式を利用してPをECの点としてみる場合(上段)と、FG上の点で見る場合(下段)の二通りで表してやります。この場合大差ありませんが、一応、sをベクトルAC側にかけているのは、ACはAEより複雑なので1-sをかけると面倒だからです。
kyodai_2013_math_1a_4.png
これらは等しいので、
kyodai_2013_math_1a_5.png
ここまででAPは処理できましたので、Qを求めます。QはAP上の点で、またBC上の点でもあるので、さっきと同じように二つの直線の交点を求めます(BC上は内分点じゃない感じで出してますが内分点でもいいです。)。
kyodai_2013_math_1a_6.png

よってAQはAPのk倍すなわち22/19なのでPQは3/19倍です。よって19:3が答え。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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