ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2013年前期数学第2問
kyodai_2013_math_2q.png
どこかの未解決問題で見たような漸化式です。難易度はまずまずですが、こういう問題でよくある設問はなんでしょうか?というところからせめます。メイン解答に載せた最後は直接計算していますが、別解答のように数学的帰納法でもよいと思います。

解答

解法のポイント
  • Nを実際に2,3入れて検討する
  • 塊は塊で他のと混ぜない状態で考える(本問だと2Nと-3などを混ぜない)
  • 級数(数列の和)の単調性に注目する

よくある設問でN=2,3を求めろ的なことが聞かれます。ヒントになるのでここでも考えてみます。
N=2のときa1=22-3、a2=21-2、a3=20-1これ以降も0
N=3のときa1=23-3、a2=22-2、a3=21-1、a4=20-1、これ以降も0
以上から、2N部分と-3を別に考えれば、和が0になるまで2NがNを1つずつ減っていき、-3部分は、-3、-2,-1,-1・・・・となることがわかります(ここをbnとでもしておきます)。
2NはN=0以外では2で割れるので、anは奇数、偶数、奇数・・・(以下0になるまで奇数、0になった後は偶数)というようになります。

次にMが何でもいいので、左辺の最大値(正確にはMが閉集合ではないので上限)が右辺より小さいことを示せばいいといいかえれます。anは負にはなりえないので(証明が必要ならばanが整数であることを示し、もし負になる場合には、はじめて負になるnが存在しそのときan-1も負になる矛盾でせめればよい)、無限大まで足したものが最大です(これもありがちな設問)。ただ、上の検討からaN+1は20-1になるためNまででOKです。よって、
kyodai_2013_math_2a_1.png

別解答

最後の計算部分だけ数学的帰納法で行きます。
(i)N=2のとき
左辺の最大値=1+0+0・・・・・・・=1
右辺=8-2-5=1となり成立する。

(ii)N≧3のとき
N=kで成立してると仮定します。漸化式の数学的帰納法は漸化式側を合わせるのがセオリーなので、N=kとN=k+1の差を考えてやり、それを両辺に足してやります。anは同じではないのでk+1のほうにはanに'をつけておきます。
kyodai_2013_math_2a_2.png
これをN=kの右辺に足してやれば
kyodai_2013_math_2a_3.png
となるため、N=k+1でも成立する。
(i)(ii)よりすべての2以上の自然数Nにおいて成立する。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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