ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2013年前期数学第3問
kyodai_2013_math_3q.png
ごく普通の数学的帰納法の問題です。コメントに困ります。

解答

解法のポイント
  • 自然数についてなどは数学的帰納法を第一選択肢に
  • 整式の割り算はP(x)=Q(x)f(x)+R(x)の形にする

見るからに数学的帰納法臭が漂っているのでそれで行きます。
(i)n=1のとき
xをx2-2x-1で割るとx余る。よってa=1,b=0となり、いずれも整数かつこれらを共に割りきる素数は存在しない。

(ii)n≧2のとき
n=kで成立すると仮定すると、商をQn(x)、x2-2x-1をf(x)とし、n=kのときのa,bをan,bnとすると、xk=Qn(x)f(x)+anx+bnにおいてanとbnは整数かつ互いに素が成立します。
この式を元にn=k+1バージョンを作るためにはxを両辺にかけるとOKです(右辺の各項は不明のためこれしかありません、たぶん)。
xk+1=xQn(x)f(x)+anx2+bnxとなりますが、ここで右辺の余り的なものの次数が2になるためf(x)でまだ割れます。
割ってやると、anx2+bnx=anf(x)+(bn+2an)x+anと表せます。
よってxk+1をf(x)で割った余りは(bn+2an)x+anとなります。
ここで、n=k+1のあまりと比較してやれば、
an+1=bn+2an
bn+1=an
だとわかります。
この式とanとbnが整数であることから、an+1もbn+1も整数になるとわかります。また、an+1とbn+1が共通の因数を持つならば、bn+2anとanが共通の因数を持つことになるので、anとbnをともに割り切れる素数がないならばbn=0以外あり得ません。これが矛盾することを示せばOKです。

さてこれは困った問題です。b1=0なので一瞬ダメですが、(i)にn=2を追加すること、および漸化式の形から(n=1以外の)証明すべきものを”a,bが整数”ではなく自然数(≠0)に変えてやれば、(i)(ii)から2以上の自然数nにおいてbn≧1が得られるので、問題なく証明されます。

以上、試験なら途中でn=2や自然数への条件変更を追加して書くんですが、こんな風に解いているうちに追加される感じも出したかったのでそのままにしておきます。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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