ひたすら受験問題を解説していくブログ
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京都大学2013年前期数学第4問
kyodai_2013_math_4q.png
外出先で紙を使わずに考えていたせいか、個人的には一番引っかかった問題です。でも難易度は並程度ではないでしょうか。

解答

解法のポイント
  • 閉集合を変域とする(有限次元の)連続関数は最大・最小値をもち、その値は極値、不連続地点、境界部を比較すればよい
  • 2階導関数で極値が極大か極小か判定可能(ただし2階導関数が0のときは更に高次導関数をチェックする必要がある)
  • 1階導関数が単調(2階導関数が正か負の一方に限定される)時、極値は多くて1つ

閉区間を範囲とする微分可能な関数の最大値なので、極値(極大値)と境界部分を比較します。でもこの関数って偶関数なので(cosxもx2も偶関数なので)閉区間は0≦x≦π/2にしてもOKです。
まずは極値ですが、f(x)とでもおいていつものように微分します。
kyodai_2013_math_4a-1.png
となりますが、見るからに解ける気がしません。まずはこいつが極大値なのか極小値なのか判断してやります。
よってもう一度微分。
kyodai_2013_math_4a-2.png
となりf'(x)=0であることを考慮すると、グラフはx=0の近傍では単調に減少することがわかります。
さて、f''(x)がπ/6を境にきれいに正負が入れ替わっていることを考慮すると、f'(x)=0なるxはπ/6より大きく(小さいならば、f''(x)は負だからf'(x)は小さくなり続けている最中です)、また、π/6より大きいxでf''(x)>0なので、極小値です。さらに、π/6より大きいxでf''(x)>0なので、f'(x)=0となる点は1つになります。
よって、極値は極小値のみなので最大値において考慮する必要はありません。

境界の値の検証は代入するだけです。
kyodai_2013_math_4a-3.png
となり、後者が最大値になります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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