ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2013年前期数学第5問
kyodai_2013_math_5q.png
ちょっとした発想の転換が必要です。難易度は普通+αな感じかと思います。

解答

解法のポイント
  • 円の接線は中心と接点を結んだ線に直角

Cがy軸に対称、C1とC2がy軸に対称なグラフなので、C1とCおよびy軸によって囲まれた図形のみ調べればOKです。真数条件よりx>-1です。
必要ないんですが、理解を助けるために2通りのC、C1およびC2のグラフを描いて置きます。
kyodai_2013_math_5a-5.png
△PABがy軸に対称な正三角形ということは、ABはy軸に直交し、その交点をQとすれば、∠QPAが30度だとわかります。
C1のAにおける法線の傾きがtan60°=√3もしくはtan120°=-√3なので、Aの座標を(s,t)とすれば
kyodai_2013_math_5a-1.png
となるが、真数条件よりs=2となる(120度のほう)。このとき法線の方程式は
kyodai_2013_math_5a-2.png
となります。この直線とy軸の交点をCの中心にしてAを通るようにしてやれば、APが法線と一致することからAでCとC1が接することがわかります。
これは円の半径をPAにするということなので、円の半径を求めますが、代入すると面倒です。∠QPA=30度から計算します。PA=2/sin∠QPA=4と求まります。

ここまで求まればあとは積分するだけです。PAとx軸のなす角が120度であること、および、x=2においてC1が第一象限のグラフであることから、CはC1の上側です。
kyodai_2013_math_5a-3.png
これの2倍なので、
kyodai_2013_math_5a-4.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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