ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2017年前期物理第2問
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解説

I(2)(3),II(3),III(3) と定性的な分析が多く,難しいと感じた受験生もいたのではないでしょうか。普段から計算に頼らない定性的分析の練習をしておくべきですね。

I
(1)
誘導起電力はBLvcosθとなります。したがって,θ=0で抵抗が2Rなので,BLv/R

(2)
エネルギー保存則で考えれば,初めに持っている力学的エネルギーが熱エネルギーになっただけです。
Mgl(1-cosθ)

(3)ア
同じ起電力Vに対して消費電力はV2/Rです。したがって,Rが大きいと小さくなります。したがって,エネルギーロスは少ないので,長くなります。

II
(1)
静止しているとあるので,つり合いの式を立てます。接線方向で考えると,
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(2)
微小なので誘導起電力も生じないとみなしてよく,角度もほどんど変わらないためローレンツ力もほぼ一定です。したがって,一定の力がかかっているだけの振り子なので,見かけの重力加速度g’で処理できます。
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(3)イ
見かけの重力になっただけであり,Iと同じ状況です。結局のところつり合いの位置で止まります。したがって,イ

III
(1)
角速度はθの微分であり,角速度×半径が速度なので,その水平方向成分とBLの積です。
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勝手に近似してるので違和感がある場合はこちらで考えてください。
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(2)
打ち消しているということは起電力と逆位相で振幅が同じです。
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(3)
起電力が打ち消されていれば電流は流れないので,抵抗による損失はありません。したがって,β’=βです。

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東京大学2017年前期物理第1問
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解説

IIIの(2)で条件をしっかりと理由をつけて書けるかどうか。あとはIIで単振動として解けるかどうか位でしょう。

I
(1)つり合いの位置(振動中心)が
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で速度ゼロスタートだからその2倍です。
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(2)単振動はつり合いの中心から考えた座標系では重力を無視できるので,
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【別解答】
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II
(1)
積み木1,2を一体と考えれば,糸方向の正にMgsinθその逆向きに摩擦力が働いているだけなので,
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(2)
静止するまでは運動方程式が単振動なので,単振動として処理できます。ちょうど半周期なので,
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(3)
静止位置は振幅に相当するので,振動中心までの距離の2倍です。
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【別解答】仕事
摩擦のした仕事が積み木2の位置エネルギーの変化に相当します。
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III
(1)
積み木上面の垂直抗力は2Mg,底面は3Mgであることを考慮して運動方程式を立てると,
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(2)
問題文通りになるためには,1個だけで動かない,かつ,2個では動く,かつ,他の積み木は動かないです。
(i)1個だけで動かない,かつ,2個では動く
2段目と下段にかかる摩擦力をfとすると,
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の時に動き始め,fも最大静止摩擦力を越えません。つまり無条件で成立します。

(ii)他の積み木が動かない
上段の3個は摩擦力の同じ条件なので,動いたとしても互いに垂直抗力を生じません。よって1本のみで考えると,動こうとしている積み木から受ける最大の摩擦力は,それ以外の2段目の積み木から受ける最大の摩擦力の半分です(接触面積的に)。したがって,2段目の積み木も一緒に動くしかありません。2段目の積み木を考えると,上面より底面の垂直抗力が大きいので,下段の積み木も動くしかありません。
結局,すべての残りの積み木が動くことになります。したがって,残りの積み木の垂直抗力が7Mg-Mg(動かそうとする積木にMgかかっています)
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東京大学2017年前期物理解説
東京大学2017年前期物理の解説です。簡単な問題も多いものの,受験生が苦手とする定性分析問題もあり,高得点の難易度はそれなりに高いのではないでしょうか。

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東京大学2017年前期数学第6問
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解説

本年で唯一普通の難易度の問題です。円錐と言えばベクトルでサクッと曲面を求めたいとこです。

(1)
下図のような感じです。OQ固定なので,点PはOQを中心にくるくる回るだけです。つまり,OQとPの距離,√3/2の円です。
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したがって,
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角度は,OPもOAも固定なので,PAの長さに依存します(余弦定理でもOを中心とする半径1の円や球(APが弦)でもイメージしてください)。
PAが一番近いときはy=0のx正で平面上で90°-60°=30°,PAが一番長いときはx負で90°+60°=150°です。
したがって,30°≦θ≦150°

(2)
x=0上を動くということは(1)で考えた図形をx軸周りに回転させてできる図形です。(1)の図形の断面を考えてから回転させても同じなので,OPが(1)で作る局面を求めます。OQとなす角が60°なので,曲面上の点S(x,y,z)とすると,
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の0≦z≦1/2部分です。x=kでの断面を考えますが,回転するので結局は一番近いところと一番遠いところしか必要ではないです。回転軸からの距離ををrとし,zの範囲がk/√3≦z≦1/2となることに注意して,
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となります。
回転させているので普通に積分します。
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【(2)別解答】
角度がθのOPはy=0平面からは傾いていますが,x軸周りに回転させてしまえばもはや関係ないです。したがって,(1)で求めたθの範囲な半径1の円の扇形をx軸周りに回転させたと考えても同じ図形になります。


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東京大学2017年前期数学第5問
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解説

体系数学の問題集とかに普通にありそうな感じです。与えられている条件をただ解いていくだけですが,(2)で3本目を見つけられなかった人がいるかもしれません。

(1)
a=0だとDを突っ切るので,a≠0としてよいです。Cに関する条件,Dに関する条件を判別式の重解判定で行きます。その際にx=yに対する対称性を利用すると楽です。Cはまじめに,Dは対称性でやります。
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2条件の差をとって連立方程式を解きます。a≠-1なので,割れます。
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(2)
a=2を入れると,k=3/8,b=-5/8になります。
別の解を考えると(対称性的にb’=—b/a=5/16でもいいです)
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ここで”あれ?”となれればa≠-1の条件を思い出せます。a=—1ならば二曲線に接する条件が同じになりますが,ただ入れるだけです。
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