ひたすら受験問題を解説していくブログ
北海道大学1996年後期数学第3問
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解説

いくらなんでももう使い古された感のある数列の極限の問題です。これ系は(2)のようにハサミうちの不等式すら与えられていなくても解けるようになっておきたい所です(別解参照)。

(1)
軸に平行な線を引いて交わるということは同じ値になるので,ただ単に代入しているということです。よって,
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(2)
まず0以上であることですが,x1で成立と与えられているので,それを使って帰納法で行きます。
n=kで成立すると仮定すると,
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相加相乗ですね。したがって,残るは中辺と右辺です。2×(右辺-左辺)≧0を示せばよいです。
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この不等式を繰り返し使ってn=1まで戻した後にハサミうちます。
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【(2)別解答】
そもそものところ不等式の係数についてどう求めればいいのかわかってない受験生って結構いたりします。2年に一回は聞かれる気がしますし。次のように考えていけば不等式の形が与えられていなくとも,いい式変換が思い浮かばなくとも(東京大学2014年前期数学第4問みたいな面倒な奴)とくことができます。

まず一般で考えますが,これ系問題は収束する値が極値になりうることからも分かる様に,漸化式に極値を入れると等号が成立するところです。したがって,その値をXとするとX=f(X),以下のように平均値の定理ととらえることができます(cnは間の実数)。
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あとは,この|f’(cn)|から有限個の項を除いた数列の上限が1未満であれば収束します。本問題で考えれば,
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したがって,xn-√2>0ならば,xn+1-√2>0  (f’(cn)>0なので)であり,中辺と右辺の関係もそのまま出てきています。f’(x)の符号を気にしていますが,問題で聞かれていなければ絶対値で処理してしまって終わりです。

(3)
とりあえず接線とか言われたことをやってみます。接線の方程式にx=h(t)とy=0をいれます。一点で交点を持つので,g’(t)≠0です。また,h(t)とtの関係もそのまま入れてしまいます。
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C≠0なのは積分定数そのままの表記なら指数関数の指数部分になっているからです。


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北海道大学1996年後期数学第2問
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解説

空間図形は空間ベクトルで考えるとわかりやすいです。平面のなす角は知らないと思いつくのは大変だったかもしれませんね。

(1)
下図のように二面のなす角はその法線ベクトルのなす角と一致します。
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法線ベクトル(面の方程式の係数がそのまま法線ベクトルになります)からcosαを求めてtanαを求めると,
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(2)
各軸との交点が作る三角形なので,各点を求めると,
P’(1/a,0,0)
Q’(0,1/a,0)
R’(0,0,1/b)
となります。0<a≦bより1/a≧1/bなので、R’が最大角になります。計算の都合上全部をab倍したものをPQRとおきます。
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(3)
普通にかけて最小となるa,bを求めます。
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b/aが最小つまりa=bの時です。tanαとtanβに代入します。
tan⁡α=√2
tanβ=√3

【(1)別解答】
(1)平面とz=0の交線はx+y=1/aです。よってその法線はy=xです。平面上でy=xにそってxが1増えると,yも1増えzは2a/b減るので,tanα=2a/b÷√2=a√2/bです(√2でわるのはy=x上の距離)。



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北海道大学1996年後期数学第1問
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解説

(1)は一度は解いたことがあるでしょうし,(2)は結局オーダーだxなので,f(x)=xみたいなものでは解いたことあるでしょうね。(3)は一瞬ギョッとするかもしれませんがヒントしかない形です。

(1)
不等式の証明と言ったら移行して最小値≧0でしょう。その際には単調だと楽なので境界の値からの単調性を狙うのが定石です。そして,それが繰り返しになる問題も頻出ですね。

g(x)=左辺-右辺とします。必要なパーツを作っていくと,
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したがって,与式は示された。

(2)
関数の形が分からないf(x)のlimをとっているので,問題文中のlimの形にするしかないです。また,その場合にxe-xの形が出てきますが,(1)から考えるのが自然でしょう。先にその形を作っておけば,
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xe-x≧0なのではさみうっています。

(3)
f’(x)が邪魔なので,(2)形になる様に部分積分します。
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逆にf(x)の方をf’(x)になる様に部分積分しても解けます。


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北海道大学1996年後期数学解説
北海道大学1996年後期数学の解説です。部屋を整理していたら過去問を見つけたのでなんとなく解いてみました。典型問題が多いので難関大受験生ならサクサク行きたい所ですね。サクサクいけなければ色々抜けているので,難問に挑む前に典型解法を徹底的に復習して欲しいです。時間は100分のようですが,数学に自信ありなら60分未満を目指しましょう。

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灘中学校2017年算数2日目第5問
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解説

27通りなので書きだせば余裕です。

(1)
(ア)
ルールを適用するだけです。
A:2134
AC:1342
ACB:3412

(イ)
(ア)で試したところ,Aなら2番目が前に,Bなら2番目と3番目が前に,Cだと2,3,4番目が前に来ます。後ろに行くのはいずれも1番目のみです。
4が先頭ということは4が3回の操作で3回前に来ています。
C,CB,ABC
のパターンなので,
1×2×3=6通り

3が先頭ならば,3は2回の操作で前に来ています。2番目に来てしまうとどの操作でも前に来るので,
A,BC,ABC
1×2×3=6通り

2が先頭ならば,初めにABCの何が来ても先頭になり,その後どこかに移動して1回の操作で戻ってこれなければならないので,
ABC,A,ABC
3×1×3=9通りです。

1が先頭になるのは27から上記の3つを引いたものなので,
27-6-6-9=6通り

【(1)イ別解答】先頭が1の場合
初めにABCの何が来てもどこかに飛ばされます。その後2回で戻ることを考えれば3番目に飛ばされて戻ってくるしかないです。
B,BC,ABC
1×2×3=6通り

(ウ)
3回の操作ですべての並び順が実現できることに触れないと本当はいけないのでしょうが,問題文が重複しているものが3組と教えてくれているので2が先頭のケースで重複が生じていると考えられます。
AAAとBABは上げてくれているので,他のものを考えます。
AAB:2314
AAC:2341
BAA:2314
BAC:2143
CAA:2341
CAB:2431
CAC:2413

よって,2314と2341

【(1)ウ別解答】
AAは元に戻る操作なのでないものと同じです。
すると,AAのどちらにどの操作をしても変わらないです。
したがって,AAB=BAA,AAC=CAAが得られます。

(2)
27通りで重複しているものが3組,全並び替えは24通りなので全部の並び替えが存在しています。
この場合,ある並び替えに対して逆の並び替え(逆セット)が必ず存在することになります。しかしながら問題は重複しているものです。

重複しているもののうち2134は2つペアの交換であり,自分自身の3操作が逆セットになります。それ以外の重複は重複しているもの以外が逆セットになります(2番目が1ではないと逆セットになり得ない)。
すると,9通りは次のように分類できます。

7通り
AAAおよびBBB

前者にはそのままひとつづつ逆セットが,後者は2×2=4通りです。
したがって,11通りになります。

(3)
他の数字が先頭の場合は2314と2341になる3操作の逆セットのみに注意します。つまり,合計2増えることになります。
よって,
11+3×6+2=31通り

【(3)参考】(2)を飛ばしてまとめて考える
27を(2)と同じように分類すると,
27中23については逆セットが1つ存在し(重複しているものの逆セットを除いている),2つについては逆セットがそれぞれ2通り(2314と2341が逆セット),2つについては2134となる3操作自身が逆セットで4通りです。
したがって,
23+4+4=31通り


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